第四十五章 微分

　　兩人看看李縱所寫下的面積，又看了看李縱。

　　按照他們的理解，只要字母中間不寫東西的，都做乘法運算。那難不成這條式子的意思是用f(x)去乘dx，問題是這個dx又是什么意思。

　　上面可沒有d這個字母。

　　不過張公綽還是試探著問道：“難不成…”

　　但話說到一半，張公綽便又停了下來。

　　“老夫還是不太能夠理解，這圖形的面積該如何求。”

　　李縱知道張公綽有點被現實束縛住了，也是提醒道：“這個dx的意思，就是一滴滴的x的意思。”

　　李縱說這話的同時，還用手指比了一段很小很小的距離給他看。

　　張公綽立刻就脫口而出，“難不成，你是想用割方條術？”

　　“什么？什么割方條術？”恒巽也是立刻問道。

　　張公綽便道：“如果把這個dx比作是一小段的距離，那么這個f(x)，就是它的高。底乘高，正是面積。”

　　“但…”

　　他緊接著又低著頭猶豫了下。

　　李縱卻是道：“沒錯！雖說你說的這個割方條術還不是很準確，但是，我們就是把這個圖形，看成是一條條的鉛垂線段，而且這條鉛垂線段的底，正常來說，我們都會認為線是沒有寬度的，但現在我們認為它有一滴滴的距離，而這個一滴滴的距離，就是dx。”

　　“所以這里的f(x)dx的意思，就是你原本所想的那樣，即是底乘高的意思。”

　　張公綽卻道：“可這樣…這條線上，不是每一處…那這個要怎么加起來？”

　　李縱便道：“之前不是教過你們∑符號嗎？這個彎曲的像蛇一樣的符號，∫，它的意思就是求和。那為什么不用前面的那個，這就涉及到，兩者求和的意義不同。”

　　“前者是對離散的，像1、2、3、4這樣的，一個一個加在一起的求和，而∫是對任何實數，而且是連續分布的數的加起來一起。”

　　“比如說，在1跟2之間，會有一個根號2，也就是2的開方，它比1大，比2小，而反應在我們這個圖形上，顯然，雖然我們看不到，但它肯定是有的，我們要把這個也算上。而不能去跳過那些在1跟2之間的數。”

　　“然后，剩下還有兩個數，一個是a，一個是b，下面的a，表示我要求和的起點，上面的b，表示我要求和的終點。就這問題而言，這個求和是有邊界的，而a、b在這里表示的就是求和的邊界。”

　　“所以整條式子的意思就是，在這個圖形中，它的面積就等于從a到b這個區間，把所有這些底只有一滴滴距離，大小為dx，高度是f(x)的鉛垂線的面積，現在我們按照面積公式，把它的面積全部都加起來。”

　　“然后！這條式子我們就說它是這個圖形的面積公式。”

　　“那么問題來了，雖說我們定義了這些內涵，讓這個式子賦予了很直白很簡單易懂的含義，接下來我們只要能夠算出這條式子，那么我們就能知道這個圖形的面積。”

　　“可是…這些都是我們直接說它就是這樣的，我們其實并不知道它是怎么算的。”

　　“這個一滴滴的距離dx，我們不可能真的一滴滴加起來。在現實中，這樣的事情我們是辦不到的。”

　　“所以接下來怎么辦！”

　　“怎么辦？”兩人又是瞪大著眼睛看著他。

　　李縱袖子一捋，卻是道：“我們先把這個放一放，接下來我們再學學另一個概念。”

　　“我們假設有λ=x(t)這么一個函數。”

　　“t，我們代表的是時間，單位是…隨便，比如說一個時辰。”

　　“x，我們代表的是位置，比如說，假設我們在路上每隔一段距離，比如說十里路，就設置一個路標，上面寫著這里的里程數，比如說，從出發點，0，然后是10、20、30這樣，而在它們中間，當然可能也有我們之前講到的那些類似于不是一個整數的，比如說根號2里。”

　　“總之，這些都不管，那x的單位就是：里。”

　　“然后我們想象一下，當一個人在這么一段路上走的時候，他是不是每一個時間點，都對應著一個里數。”

　　“現如今我們再定義一個速度的概念，什么是速度，就是路程除以時間。”

　　“好比說：你們兩位，現如今離家有三十里，然后回去的話，走路回去的話，要三天。”

　　“那么我們就說，你們回家的平均速度，就是三十里除以三天，每天走十里路。”

　　“現在我們再假設一下，我們要是不想知道得這么粗糙，我們要想知道的是，你們二人每一瞬間，不是一天的平均速度，而是每一個瞬間的速度，這個式子又要如何表示？”

　　“按照前面的例子，是不是就是，如圖。”

　　“dx除以dt，在一滴滴的時間之內，走了一滴滴的路。然后單位是，按照上面單位，結果就變成了人的瞬時速度是里/時辰。”

　　“通過這個式子，我們是不是就可以求得，某個人在某一瞬間很短很短的時間之內，他的速度。”

　　“當然！自古以來，就有一個詭論，那就是假設把我們動的這個時間跟位置記錄下來，畫下來，而且我們假設它可以被畫下來，那么，假如說每一瞬間，我們在畫上都沒有動過，那我們是怎么從一個地方移動到另一個地方的。”

　　“其實實際情況自然是，我們不可能在每一瞬間都沒有動，我們還是會動的。”

　　“而接下來我們說的這個，就是為了解決這個問題，如下所示：”

　　“這式子的意思就是，移動過的距離x(t)-x(a)，除以時間變化t-a，得到速度。”

　　“可這個式子還不夠完美，因為…”

　　“我們要想知道，我們在很短很短的時間，我們的速度，雖然我們已經有了上面這個式子，可問題是，這個很短很短的時間到底是多少。”

　　“有人說，很短很短的時間是眨一下眼的功夫，也有人不同意，說還要比這個時間小千分之一，萬分之一，那么，我們該如何定義這個很短很短的時間，才能夠讓所有的人都信服。”

　　“那我們就可以讓這個式子當中的t=a，t=a的意思，就是說，我讓t就是a，這樣大家面對這個很短很短的時間，就不會說，t-a到底是不是就是已經很短很短了。”

　　“因為我們讓t=a，那就已經是變得不可再短了，是也不是？”

　　“但是在數術上，如果讓t=a，我們沒有辦法把這個式子算出來。”

　　“上面是零，下面是零，零除以零等于多少？可我們還是想讓這個式子能被算出來。”

　　“所以，在這里，我們再次引入一個新的符號，來表示我們接下來要做的事。”

　　“我們就用這個形式寫出來，表示我們接下來要做的事。”

　　“而且，我們將這個過程，稱之為微分。”

　　“至于前面我們說的面積求和，則是積分。”

　　“那么問題來了，這兩個東西加起來，合稱‘微積分’，接下來要怎么用。”

　　“我們還是剛剛的例子，計算瞬時速度，也就是在一段很短很短時間的速度，這個速度是通過路程除以時間，微分得來的。”

　　“微分所記錄的是每一個很短很短的時間，人所走過時的速度。”

　　“現在我假設，之前積分的圖，這就是人在很短很短時間的速度的變化的坐標圖。”

　　“現在我要求，人在某一段時間之內，也就是由a到b，他移動了多少路程，該怎么求？”