第四十六章 計算

　　應該說，微分和積分為什么互為逆運算，而且為什么通過反求導就能求出區域面積，這大概是在學習微積分的時候，很多人最難理解的一個點。

　　甚至曾經在很早之前，大家都把微分和積分看作是兩個互不關聯，毫不相關的東西去看待，直到后面出現了牛頓和萊布尼茨。

　　考慮到證明的過程是很難直觀去理解的，所以李縱才舉了這么一個或許并不太嚴謹，但卻意外好懂的例子，把求積分的圖，當成是瞬間速度變化的圖。

　　然后求從a到b時間之內，到底走過了多少路程，這是不是就是反求導之后，用大寫的F代表原函數，黃色區域的面積就等于F(b)-F(a)。

　　這正是計算積分十分重要的一個公式，將連續的需要求和的一條條鉛垂線的過程，轉變成了只需要代入邊界的值，一減就能求出面積。

　　見兩人還在猶豫，李縱也是把路程等于速度乘以時間，面積等于底邊乘以高，兩者都是乘法的這么一個過程寫了出來，道：“其實我們不必糾結于為什么路程可以看成是面積。”

　　“我們只需要知道他們都同樣是乘法運算，而且，都是函數關于一滴滴的單位之內，會得到某個值就行了。”

　　“而且，如果反過來理解，求積分的這個圖，用微分去表述，就可以是，在一滴滴的時間之內，面積的變化率。”

　　見兩人還在沉思，李縱便繼續道：“那么，假設這種想法是對的，我們已經得知，這兩種運算存在著一種互逆的關系，那么，我們可以怎么使用這種關系？”

　　“是不是就可以求積分了，積分原本是要把很多很多的鉛垂線的面積加起來，正常來說，我們人是辦不到的，但是如果能把它轉換為微分時的原函數，積分是不是就可以計算了。”

　　“直接代入兩個邊界的點，一減，答案不就出來了。b點的里程，比如說15里，減去a點的里程，比如說10里，一減，中間的5里，就是我們走過的路程。”

　　“那么問題來了！這個積分的函數，跟它微分時的原函數，到底存在著一種什么樣的關系。”

　　“或者說，我現在已經知道了積分的函數了，就是等于y=2x，那么，微分時的原函數，是什么？所以是不是就是一次從微分的結果，反推微分的開頭的這么一個過程。”

　　“那接下來我們便嘗試著拿一個例子，來求一次微分。”

　　“比如說原函數y=x²，根據剛剛微分的定義，是不是就可以有以下這個式子：”

　　“此式子怎么理解，剛剛我們是用t-a的方式，但這樣顯然是算不出來的，所以我們把t換成x+Δx，代表t比a多了那么一滴滴增量，但是這個增量又是無限小，我們定義無限小不等于0，但是它無限趨近于0。”

　　“接下來便可以對式子進行運算。”

　　“正如同前面我們說讓t就是等于a，那么很短很短的時間，也就沒有爭議。這個的Δx，我們把他視為是沒有增量，那么這條式子最后，微分出來，等于2x也就沒有爭議了。”

　　“當然，前提是，我們定義了無限小，是趨向于0。”

　　“這正好就是微分的結果跟原函數。”

　　“接下來，我們可以代入一些數字來測試一下。”

　　“首先明確，y=x²是路程關于時間的函數，y=2x是路程變化率，也就是速度關于時間的函數。”

　　“現在我要求y=2x在某一段時間內走過的路程，即這個函數在給定邊界范圍的面積。”

　　“就可以變成求出原函數，然后代入邊界，最后y=1²=1。”

　　“而反應在y=2x的這個與x、y邊界所圍成的面積，是不是也是，按照三角形的面積公式，底是1，高是2，1×2÷2=1，也等于1。”

　　“再代入別的數字，x=2，原函數答案是4，y=2x圍成的面積是，2×4÷2=4，也等于4。”

　　“下面的以此類推，答案完全一樣。”

　　“甚至就是算梯形的面積，其實也是一樣的。”

　　李縱用一個很巧合的例子，來說明在給定邊界后，的確可以通過原函數的式子來算出圖形的面積。并且計算出來的面積是完全吻合的，這恰恰印證了前面李縱的假設。

　　雖說這只是個例，但是，此法足以讓兩人耳目一新。

　　三角形的面積原來還能這么算，這誰能想到！

　　然后李縱便道：“其實還有更為嚴格的證明過程，只是便于你們好理解，我也就拿這個作為例子。”

　　“假設這就是對的！”

　　“那么，以前我們是不是寫了一條關于圓的方程的式子，是不是也有xy，而且當時我們還算出了邊界，如果我沒有記錯的話，是b點的坐標是四分之一。”

　　“要是我們也能知道那條圓的方程的式子的原函數，是不是就能夠通過直接代入四分之一，當然，起點是0，所以不用算，去算那個小區域S(ABD)的面積。”

　　兩人聽完，簡直覺得李縱就是鬼才！

　　這都能讓李縱想到！

　　但是…

　　接下來，等李縱把圓的方程式子寫下來后，這個要怎么求原函數，卻是把所有人都難倒了。

　　“這個式子，要怎么求原函數。”

　　“方才，我們是瞎貓碰上死耗子，正好通過微分，算出來是2x，那么接下來什么原函數的微分等于（x-x²），再開根號。”

　　張公綽兩人立刻都傻眼了。

　　甚至，看完了這條式子，前面什么微分、積分好像都忘了，這就是所謂的，你看完，你覺得你自己懂了，其實，你什么都不懂。（圖）

　　“這的確是一條相當復雜的式子，而且微分的過程雖說我們從頭到尾都是知道的，但是我們卻又不可能從后面往前推。”

　　“尤其還是這種又有減法，甚至還有開平方的式子。”

　　“這怎么辦？”

　　“我們化簡一下。”

　　“這就是結果。”

　　“然后我們先不管前面的x的二分之一方，我們就看后面的這個，（1-x）的二分之一方，是不是就跟我們之前提到的，那個f(m)的公式長得很像。”

　　“那我們是不是就可以把這個式子，按照f(m)的式子來展開。”

　　“最后得到。”

　　“我們再對這個式子求原函數。”