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第八章:間接路線

  走進會議室時,孟仞回想起了自己的考研復試。那時面試也是在一間會議室里進行,他在長桌的一頭,學院的老師們坐在桌子兩側,一個又一個的問題問得他滿頭是汗。現在這間會議室中間沒有長桌,倒是在四周各擺了幾張幾案。孟仞恭恭敬敬地站在東面的幾案前,沒有資格落座;西面正對著他的是館首、匡先生和周先生;南北兩側各坐著兩個導師,孟仞都不認識,不過南側靠近他的導師發言之后,孟仞聽出那正是顏笙的聲音。

  “考核現在開始。”顏笙說道,舉起案上的一把小錘,敲了一下擺在她面前的一尊約莫一尺高的銅鐘。她沒有馬上接著說下面的話,而是等鐘聲完全消失之后才開口:“本次考核采用投票制,四人及以上同意通過即視為考核通過。學徒孟仞,闡述你未來的研究計劃。”

  孟仞朝各位導師依次施禮,禮畢之后又說了幾句場面話充作開場白。這一通繁文縟節終于結束之后,孟仞微微一笑,開始了他的正式陳述。

  “腦理學是一門實驗學科,其一大根基是數據統計。然而現在的統計方法,卻充滿了謬誤。”

  這個世界的腦理學固然落后了他半個多世紀,但是更可怕的是數學,他們竟然連微積分都還沒發展出來。好多學科因為缺乏數學工具而舉步維艱,腦理學能發展到今天,也是仰仗了其不太依靠數學的特點。不夠數學化,這原本是一大劣勢,如今反倒成了優勢。

  沒有微積分,數理統計學的許多內容也就無從談起,甚至連方差和標準差都沒有人提出。

  “設想這樣一個場景,一群人做一個智力測試,平均分數是一百零五分,我們怎么判斷這群人的分數是否比一百分更高?只看平均數的話,當然可以對這個問題回答‘是’,但是如果有一些人的分數低于一百分呢?這些人怎么算?”

  坐在北側的一個導師打斷他道:“這些我們都知道,說重點。”

  “晚輩正要說到重點。我們會計算這些人的分數距離平均數的差值的平均值,如果平均數減去平均差仍然高于一百分,我們就認為這群人的分數高于一百分。但我想說的是,這種統計方法是有很大漏洞的。”

  “說出你的理由。”

  “要減去平均差,是因為我們擔心這群人的分數是偶然高于一百分。如果再測一次,說不定分數又掉到一百分以下了。這個想法固然沒錯,但是不知諸位先生是否想過,假設測試的次數足夠多,而且每次測試互不影響的話,這些測試的平均分應當是一個什么分布?”

  在場的幾位導師思維都頗為敏銳,一條鐘形曲線在他們的腦中迅速成形。待他們竊竊私語一陣之后,孟仞自己拋出了解答:“顯然,大部分的分數應當聚集在他們的真實水平周圍,剩下的分數散落在離真實水平較遠的地方,并且越遠頻率就會越低。我要提出的研究計劃之一,是求出這個分布的表達式,也就是分數出現的頻率和分數的關系。”

  顏笙語氣溫和地問道:“你的意思是,只要取樣次數足夠多,這些樣本的平均值會滿足同一個分布?”

  孟仞答道:“正是。”

  匡先生說道:“這么快就要推廣到所有情況?不覺得這太武斷了嗎?”

  “不,對此我很有把握。只要每次抽樣都是獨立同分布,那么樣本平均值的分布一定是一條鐘形曲線。”

  導師們似乎忘記了這是一場考核,圍繞孟仞的觀點爭論了起來,就連周先生也被吸引進去,發表了幾句自己的看法。這幾位搞腦理學的學者數學水平其實都不高,他們的爭論完全是基于直覺,饒是如此,仍然有人提出了更加接近本質的看法。館首說道:“我看不止是平均值,其他的統計指標恐怕也會趨于一個鐘形的分布。”

  不愧是館首。孟仞暗自贊嘆道。

  還沒轉過彎來的幾個學者并不因為他是館首就買他的賬,依然認為這種看法過于武斷。最后,匡先生終于向孟仞提出了直擊靈魂的拷問:

  “怎么證明呢?”

  雖然孟仞自詡數學水平還行,有把握花上個把月時間把剛剛講的中心極限定理證明出來,但要讓他現場推演,卻是高估了他的數學能力。不過他早已預備了另一手:“要做出證明,還需預備一些引理,晚輩今日恐怕無法在現場給出完整的過程。”

  館首打圓場道:“既是研究計劃,想必還沒有完成,也不強求能在今日得到完整的證明了。不過必須要說明的是,你的數學直覺還是不錯的。”其他人也大都贊許地點頭。周先生譏諷了一句:“我看倒不如把他轉到數學館去。”但是并沒有人理他。

  “再說說你的引理。”匡先生說道。

  “單純稱其為引理的話,諸位先生恐怕很難看出這條引理能用在證明的什么地方,晚輩也很難講清楚。這樣吧,我們設想一個應用場景:假設這條鐘形曲線確實是正確的,那么曲線下面包圍的面積代表什么呢?顯然是總的概率。如果一群人做智力測驗的平均分是一百零五分,平均差是五分,那么重新進行測試,他們的分數掉到一百分以下的概率是多少?”

  眾人啞然。

  “現有的統計方法根本就沒有在意這個概率,當然也不知道應該怎么計算這個概率——因此我才會說現在的統計方法有很大的漏洞。這也就是我要提出的研究計劃之二:得出計算曲線下面積的通用方法。”

  顏笙評論道:“感覺可以用跟‘割圓術’類似的方法。”

  孟仞本來也不想直接提牛頓-萊布尼茨公式,因為他忘記了應該怎么證明。見顏笙提到了割圓術,他便順著說了下去:“顏先生說得不錯。我們可以把曲線和坐標軸圍成的形狀分割成很多個矩形,只要知道每個矩形的高度,就能算出整個形狀的面積。但我要強調的是,所謂‘很多個’,指的是無窮多個,無限細分之后,我們才能夠算出形狀的準確面積,而不是估算。”

  顏笙旁邊的導師說道:“不管分得多細,總歸是有誤差的吧。”

  孟仞搖頭道:“無窮和有窮是截然不同的。無窮是只能趨近而不能達到的,當細分的次數無限趨近無窮時,矩形的寬度將小于所有的正數,面積的誤差也將小于所有的正數。為了方便理解,我們可以將‘小于所有的正數’理解為‘零’。”

  “寬度為零,那么面積也為零。無限個零相加,自然還是零,怎么得到你想要的面積?”

  “所以我才強調說,無窮和有窮是截然不同的。理解為零是為了方便使用,而不是嚴格的定義。應當先求和,再取趨向于無窮的極限,而不是先取極限再求和。”

  學者們已經被弄糊涂了。理解數學語言不是一件簡單的事情,更何況孟仞為了表達的簡潔省略了很多東西。孟仞自己也不是數學系的學生,對這些定義理解得并不透徹,他感覺要是再被問問題的話,自己就要露怯了,于是趕緊乘勝追擊,沒給他們接著提問的機會:

  “關于這一問題,完整的證明也是不好通過口頭表述的。不過,一旦這項引理中的問題得以解決,不僅將對腦理學大有助益,而且將對數學中的幾何問題,物理學中的變力做功問題帶來極大的幫助。”

  眾人再度竊竊私語起來。館首從座位上起身,抬起手示意眾人安靜,然后說道:“如果大家沒有意見的話,我們就開始投票。”

  匡先生大概是覺得孟仞兩年之內發表兩篇論文不成問題了,說道:“我先投個贊成票。”

  周先生卻咧出一個笑容道:“先不急著投票吧,在腦理學館讓學徒研究數學問題,似乎尚無此先例。再說,這個學徒我是了解的,根本就沒有多高的才能,今天說不定只是吹噓而已。”

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