第二十章 問答

　　龐紹安和姚建中面面相覷，即使龐紹安知道自己孫子不是那種滿嘴跑火車的人，可BSD猜想的地位在那兒，這種級別的難題，被一個23歲的年輕人給證出來了，想想就有種魔幻現實主義的感覺。

　　一時間，小院陷入了一種詭異的寂靜之中。

　　“小林，你怎么杵在院子里呢，來，幫奶奶擇菜。”

　　奶奶王秀芳從屋子里走了出來，見眾人一臉呆滯的模樣，不由得出聲道。

　　“還擇什么菜，小林，走，我們去書房，你論文帶了嗎？我要先看看。“

　　龐學林微笑道：“爺爺，論文我已經上傳到arXiv了，郵箱里也有，可以直接下載。”

　　“我也去！”

　　姚建中也跟著起身道。

　　“你們這是怎么了？”

　　王秀芳看著迫不及待的龐紹安和姚建中，有些不解道。

　　來到書房，龐學林登上郵箱，將論文直接下載下來，交給龐紹安審閱。

　　姚建中則坐在一旁，不時瞅瞅龐紹安和龐學林。

　　他是理論物理學家，BSD猜想這種級別的數學論文，他自然看不懂，不過這并不妨礙他在一旁看熱鬧。

　　之前他老伴想把自己的寶貝孫女介紹給龐學林，他還有些微詞。

　　在他看來，龐學林太過于專注學術，性子雖然不算木訥，但也不是那種特別多話的人，自己孫女活潑好動，和他在一起，兩人未必能合得來。

　　但現在，龐學林的表現卻讓他刮目相看。

　　如果龐學林真的證明出了BSD猜想，那三年后龐學林必得菲爾茲獎。

　　二十六歲的菲爾茲獎得主，應該是破紀錄了，這樣一位學者，未來的成就幾乎不可限量。

　　自己的孫女雖然是北舞的一枝花，但從某種程度上說，還真不一定配得上龐學林。

　　龐學林和龐紹安自然不知道姚建中亂七八糟的想法，此時，龐紹安所有的心思都沉浸在龐學林的論文之中，一頁一頁慢慢翻看。

　　龐紹安主要研究領域是微分幾何與拓撲學，因此，這篇BSD猜想的證明論文對他而言有些吃力。

　　大概看了半小時，龐紹安便摘下老花鏡，搖頭道：“老了老了，小林，你這篇論文，說實話爺爺我有些跟不上了，不過我大概還是看懂了你的證明思路，你是從同余數問題著手的，對吧？”

　　龐學林點了點頭，豎起了大拇指道：“爺爺你果然慧眼如炬！”

　　龐紹安擺了擺手道：“臭小子，出國讀了幾年書，倒是學會拍馬屁了，我是不行了，待會兒等小劉過來，讓他看看，他在數論與代數幾何領域都有很深的研究，他應該能看明白。“

　　姚建中笑道：”老龐，沒想到你也有搞不定的時候。”

　　龐紹安瞪著眼道：“也就是我現在年紀大了，要是放在年輕的時候，我啃上幾個月，肯定能把這篇論文搞明白。”

　　“哼，你就臭屁吧！”

　　姚建中不屑道。

　　這兩位老頭互懟是常態，龐學林笑瞇瞇的看著，也不參與。

　　沒過一會兒，王秀芳帶著一個腦袋有些禿頂，戴著眼鏡的中年男子走了進來。

　　來人正是江城大學數學科學學院院長劉廷波。

　　劉廷波笑道：“龐教授，姚教授，你們好。”

　　接著，他將目光轉向龐學林，說道：“小龐，你這回在數學界放了顆原子彈啊！”

　　龐學林有些好奇道：“劉院長，我今天凌晨才把論文上傳到arXiv，你們怎么這么快就知道了？”

　　劉廷波道：“還不是托你那位老師的福，陶哲軒看完你的論文后，第一時間聯系了德利涅、法爾廷斯、丘成桐這些大佬，說你很有可能解決了BSD猜想的問題，然后把論文分享給了他們。也不知怎么回事，這本來是小圈子里的事，結果一下子給傳出去了，現在整個數學界都沸騰了。邱教授沒有你的聯系方式，直接把電話打到我頭上，我還一臉懵著呢！我說你這次，該不會是給我放衛星吧？”

　　龐學林微笑道：“劉院長，論文在這呢，要不你先看看？”

　　龐紹安也跟著說道：“小劉，你是代數幾何與數論領域的專家，正好給小林把把關！”

　　劉廷波苦笑道：“龐教授，把關我可不敢當，小龐要是真解決了BSD猜想，都可以當我老師了！”

　　話雖然這樣說，劉廷波還是坐在了電腦前，仔細看了起來。

　　一邊看，他一邊還時不時就論文中的一些疑問和龐學林做交流。

　　“小龐，這里假定D無平方因子，簡單的初等考量顯示D為同余數等價于橢圓曲線E_D: y^2=x^3-D^2x上有某個y \neq 0的有理點。可以證明這樣的點不屬于T，于是D為同余數又等價于r_D0。（同余數問題）決定所有同余數D，使得r_D0。對于給定素數p，(1)p \equiv 3(\mod 8)：p不是同余數但2 p是同余數；(2)p \equiv 5(\mod 8)：p是同余數；(3)p \equiv 7(\mod 8)：p和2 p都是同余數。你使用的工具是Heegner點的高度理論，你是怎么將它和L'(1，E)聯系起來的？還有，你是如何確定D均為同余數的？“

　　龐學林在三體世界的時候便經受住了那些頂尖數學家的狂轟亂炸，對付這種問題應付起來輕松異常，對答如流道：”關于E的Weil-Hasse函數L(s，E)的定義，一個經典結果是a_p有Hasse上界2\sqrt{p}，這推出L(s，E)對\mathrm{Re}\， s\frac{3}{2}收斂。然后我們根據Gross-Zagier公式，就可以將其與L'(1，E)聯系起來。另外，BSD猜想對E_D成立。特別的，r_D0當且僅當L(1，E_D)=0。假定弱BSD猜想成立，則(1)理論上我們能夠判定D是否為同余數；(2)Tunnell定理給出在有限步內決定D是否為同余數的算法；(3)可以證明D \equiv 5，6，7(\mod 8)時r_D為奇數，故這樣的D均為同余數。“

　　劉廷波思索了片刻，滿意地點了點頭，過了一會兒，他又問道：“你這里說，L(s，E)在s=1處展開的泰勒系數和E的Tate-Shafarevich群的階數成正比，你是怎么得出這樣的結論的？還有這里，E(Q)(Mordell-Weil群)有自然的交換群結構，你前面根據Mordell定理進一步斷言E(Q)是有限生成的：E(Q)=\Bbb Z^r \oplus T，此處撓群T是某個有限Abel群，r稱為E的秩。我們對T的了解是完全的：Mazur決定了所有15種可能的T。那么R呢？你這里是不是缺少了對R的有效刻畫？“

　　龐學林道：“基于Eichler， Shimura在模橢圓曲線方面的工作以及新近證明的Taniyama–Shimura猜想(模定理)，現在知道L(s，E)可解析延拓到整個復平面并且相應的Riemann猜想成立。BSD猜想在R等于L(s，E)在s=1處零點的階數m。在模定理已獲證明的情況下，已知BSD猜想對m=0.1成立，故L(s，E)在s=1處展開的泰勒系數和E的Tate-Shafarevich群的階數成正比，更進一步的話，又可以推出Tate-Shafarevich群的有限性。”

　　劉廷波沉吟了半晌，豎起大拇指道：“你從同余數問題上間接證明了BSD的弱猜想，再由此擴展成廣義BSD猜想，這種辦法真是絕了！”

　　接著，劉廷波與龐學林一問一答，幾乎每一個問題，龐學林都能不假思索地給出答案。

　　時間一分一秒過去，就連王秀芳做好了晚飯，上來想要叫他們吃飯，也被龐學林與劉廷波之間的問答所吸引，看了半天后，王秀芳悄悄地退出了書房，不去打攪他們。

　　一直到晚上十點，劉廷波才徹底將這篇論文徹底審閱完畢，兩人之間的問答也隨之結束。

　　一旁的龐紹安和姚建中雖然跟不上兩人的思路，但情緒也始終處于亢奮狀態。

　　他們看得出來，在這一問一答中，一個世界級的難題，正在從龐學林手中徐徐解開。

　　這種親眼見證一個世界級數學難題慢慢展露真顏的過程，讓在場的所有人都興奮不已。

　　龐紹安看著劉廷波道：“小劉，小林的證明怎么樣，你覺得他成功了嗎？”

　　劉廷波道：“龐教授，我不敢說小龐百分之百證明了BSD猜想，對這篇論文，我有八九成把握。小龐，你看這樣如何，你這篇論文才上傳arXiv不久，我們等過一段時間，等德利涅、法爾廷斯這些大佬相繼表態，我再給你在江大安排一場學術報告會，到時候應該能吸引到全世界頂級數學家與會。這段時間，你暫時不用上課了，安心為報告會做準備，PPT最好做得詳細一點。“

　　龐學林笑道：“劉院長，上課倒沒什么問題，反正距離正式開課還有幾天時間，我每周也就一、三、五有課，給本科生上課，對我而言反而是一種放松。”

　　劉廷波想了想道：“行，那我就不勉強你了，哈哈，小龐這次多謝你了，剛回母校，就給母校先上了這樣一份大禮。”