第七十幕.萊納的數學教室(上)

　　萊納依稀記得自己高中時代的數學老師說過，學數學就是笨鳥先飛，思維不靈活的人需要做大量的訓練來培養自己計算和解題的能力，數學學不好，就是題目做得少，現在想想，這個道理倒是挺正確的。

　　當然，那位數學老師后來又補充了一句，聰明鳥飛的更高更快，這又是另一個故事了。

　　丹娜之所以無法順利構筑法術模型，一大原因便是無法正確計算法術節點的坐標與魔力通道的函數方程，產生了偏差，這才導致失敗。

　　這個世界的法師也不容易。

　　萊納心想，他自己嘗試過施法之后，發現光是計算零環法術的節點位置與魔力通道軌跡就讓人頭大，這相當于心算二次曲線方程，不過在魔力的作用下，這個過程十分奇妙，萊納幾乎沒費多少力氣就構筑成功，這個計算的過程仿佛本能，如果熟練，他甚至不需要投入太多意識在這上面。

　　尚未體驗過更強大法師的施法過程，萊納臆測一下，說不定那些法師都能夠短時間內心算高階方程與微分方程了，可以算是人形計算機。

　　拋開這些不談，面對眼前的問題，萊納認為只有一方面提高丹娜本人的數學水平，另一方面給予她更好用的數學工具才行。

　　拿起那一份試卷，萊納將其與克萊爾的對比，很容易就看出，丹娜的數學差體現在很多個方面。

　　首先是思維方式不靈活，體現在幾何題不擅長引輔助線，曲線題無法轉變條件。

　　其次則是計算力，有一些相對基礎，但計算量復雜的題目，雖然丹娜能夠找到解決問題的方法，但卻在計算中出現了紕漏導致錯誤。

　　最后，萊納覺察到丹娜似乎還隱藏著一絲不自信。

　　由于試卷上也留下了草稿的筆記，很清楚地看到，在一些題目上，丹娜原本的思路是正確的，但由于計算得到的結果十分繁瑣，所以她便認為自己算錯了，從而錯失答案。

　　這種心態的成因有很多種，可能是由于過去一直出錯導致的自卑，也有可能是性格使然，需要更多的背景資料。

　　但令萊納感到奇怪的是，丹娜既然出生于魔法世家，卻沒有受到耳濡目染，對相關的魔法十分生疏，這不正常。

　　萊納一邊給丹娜講解正確的解題方式，一邊思考著這些事情，他本就是一位老師，此時也忍不住想要將面前這位“差生”教好。

　　“你需要大量的訓練，如果基礎沒有其他人好，就要付出成倍的努力，從今天起，我會每天布置一份相似的試卷給你，你在晚飯之后到我的辦公室來，我給你解答。”

　　萊納說道，令丹娜不禁打了個冷戰。

　　這一份試卷已經讓她感受到了被數學支配的恐怖，現在萊納竟然要她每天都寫一份，這個人難道是惡魔嗎？

　　但這并非是萊納的惡行，實際上，出試卷比起單純解答試卷要困難得多，萊納這也是為了鍛煉自己的數理能力，為著通過進階考試做準備。

　　同時，他也可以在丹娜身上測試這個教育方法是否有成效，如果效果良好，他或許就會將其推廣到整個新月學院。

　　畢竟成功進階法師的比例也是每年考核的一部分。

　　所幸低階法師需要的數學功底沒有多深，甚至就連微積分都用不上，萊納目前的知識綽綽有余。

　　“可以少幾題嗎......”

　　丹娜怯生生地問道，但萊納斷然拒絕了這個請求，令這位女生一陣哀嘆。

　　“另外，除去基本功的訓練，構筑法術模型的方法也很重要。”

　　萊納回到講臺上，令丹娜與克萊爾的目光再度聚焦在黑板，那個光照術的法術模型上。

　　一開始萊納說的改良法術模型的話語又再度浮現在她們的心頭，兩位女士懷揣著好奇的心態看著萊納，不知道他究竟要從哪里開始改良。

　　可沒想到萊納卻沒有在法術模型上繼續動筆，而是在旁邊，用白色的粉筆點下一個點。

　　“我們新建立一個坐標系。”

　　萊納劃出一條筆直的水平線，將原點定為O，橫軸定為r，當然這并非英文字符，而是通用語的兩個字母。

　　但接下來，克萊爾意料之中的縱軸卻沒有出現，仿佛萊納的坐標軸就到此為止了。

　　“咦？”

　　就在兩人疑惑之時，萊納從原點延伸出了一條線段，然后標注了一下這條線與橫軸的夾角，定為θ，將線段的另一端的點定為A。

　　“過去，直角坐標系可以用兩個數值來確定平面上的一點，比如這個點，如果在直角坐標系上，就應該是A（x，y），假設x和y都是1，那么A應該就是（1，1）。”

　　萊納說著，然后話鋒一轉。

　　“但如果我不用x和y，轉而使用A點與原點的連線同橫坐標軸的夾角θ與單位長度r來表示這個點，會得到什么結果呢。”

　　給了兩人一些思考的時間，萊納才在黑板上繼續寫上。

　　A（r*cosθ，r*sinθ）。

　　這個有些特別的表述方式令丹娜有些暈，不過三角函數算是構筑魔法的基礎，在魔法中，角度的計算也要更加方便，所以她很快也就理解了。

　　“這個是我引入的新的坐標表述方法，可以稱其為極坐標。”

　　說完，萊納在旁邊建立了一個正常的直角坐標系，畫了一條過原點的開口向上的拋物線。

　　“倘若我們想描述這個曲線的函數方程，應該是什么，丹娜？”

　　他提問道，令丹娜猝不及防。

　　不過好在這比較簡單，丹娜很快就給出了答案。

　　“呃，y=x^2？”

　　“準確來說，應該是y=2p*x^2，在這個函數方程中，由于涉及到平方的操作，所以比一般的直線方程要更加復雜，如果曲線的位置有所變化，比如不在原點的話，那么就會更加麻煩。”

　　萊納說著，又繼續在黑板上書寫。

　　“接下來我們可以建立兩個等式：y=r*sinθ，x=r*cosθ，將其代入原本的方程，消去簡化之后就能得到一個方程，r=tanθ/2p*cosθ。”

　　克萊爾點了點頭，但這個函數方程看起來似乎更加復雜了，她不明白萊納為何要用這種麻煩的方式來記錄曲線的軌跡。

　　“當然，這是非常復雜的方式，但如果我們稍微改變一下定義，r是拋物線上的點與焦點的距離，θ確定為拋物線上的點與焦點連線同縱軸正方向的夾角呢？”

　　萊納的提問讓克萊爾與丹娜愣住了。